Bài tập 4 trang 27 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 8 tập 1 CD:Chứng tỏ rằng:a. M = $32^{2...

c. Sử dụng định lí Fermat và định lí Euler: + Theo định lí Fermat, ta có $32^{30}≡1 (mod 31)$ (vì 31 là số nguyên tố). + Theo định lí Euler, ta có $32^{30}≡1 (mod 31)$ với mọi số nguyên tố cùng nhau với 32. Do đó, $32^{2023}≡32^3=32 (mod 31)$ và $32^{2021}≡32^1=32 (mod 31)$. Vậy $32^{2023}-32^{2021}≡0(mod 31)$. + Tương tự ở câu b, dùng định lí Euler để chứng minh cho $N = 7^{6}+2.7^{3}+8^{2022}+1$ chia hết cho 8.

b. Ta có $N = 7^{6}+2.7^{3}+8^{2022}+1 = 7^{6}+2.7^{3}+64(8^{2022})+1 = 7^{6}+2.7^{3}+1(mod8)$. Xét từng số mũ, ta thấy $7^{6} = 117649$ chia cho 8 dư 1, $2.7^{3} = 2*343 = 686$ chia cho 8 dư 6, và 1 chia cho 8 dư 1. Tổng này chia hết cho 8.

a. Ta có $M = 32^{2023}-32^{2021} = 32^{2021}(32^{2}-1)$. Nhưng $32^{2}-1 = 1023 = 31*33$, suy ra $32^{2023}-32^{2021}$ chia hết cho 31.

b. Ta có N = $7^{6}+2.7^{3}+8^{2022}+1 = 7^{6} + 2*(7^3) + 8^{2022} = 7^{6} + 2*(7^3) + (2^3)^{674} = 7^{6} + 2*(7^3) + 2^{2022}$. Sử dụng công thức a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) ta có $7^{6} + 2*(7^3) = (7^3 + 2)(7^3 - 14 + 4) = 343*144$

b. N = $7^{6}+2.7^{3}+8^{2022}+1 = 7^{6} + 2*7^3 + 8^{2022} + 1 = 7^{6} + 2*(7^3) + 8^{2022} + 1 = 7^{6} + 2*(7^3) + 8*8^{2021} + 1$. Sử dụng công thức a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2), ta có $7^{6} + 2*(7^3) = (7^3 + 2)(7^3 - 14 + 4) = 343*144$