Bài tập 9.16 trang 96 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT:Cho hàm số...

Để chứng minh rằng $\left | f"(x) \right |\leq 4$ với mọi $x$, ta tính đạo hàm bậc hai của hàm số $f(x)=2sin^{2}(x+\frac{\pi }{4})$.

Với $f(x)=2sin^{2}(x+\frac{\pi }{4})$, ta có:
$f(x)=2\left [ \frac{\sqrt{2}}{2}cos(x) \right ]^{2}=2(\frac{1}{2}sin^{2}(x)+\frac{1}{2}cos^{2}(x)+\sqrt{2}sin(x)cos(x))$

Tính đạo hàm cấp nhất:
$f'(x)=2(cos(x)-sin(x)+\sqrt{2}cos(x))$

Tính đạo hàm cấp hai:
$f"(x)=2(-sin(x)-cos(x)+\sqrt{2}(-sin(x)+cos(x))) = -4cos(x)$

Vậy, ta có $f"(x)= 4 \left | cos(x) \right |\leq 4$ với mọi giá trị của $x$.

Kết luận: $\left | f"(x) \right |\leq 4$ đúng với mọi $x$.