Câu 30: Trang 116 - sách giáo khoa (SGK) toán lớp 9 tập 1Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB...

Để chứng minh câu a, b, c trong bài toán trên, ta thực hiện các bước sau:

a. Tính chất về hai tiếp tuyến cắt nửa đường tròn cho biết rằng OC là tia phân giác của góc $\widehat{AOM}$ và OD là tia phân giác của góc $\widehat{BOM}$. Do đó, ta có OC và OD là các tia phân giác của hai góc kề bù nên chúng vuông góc với nhau. Vậy nên, $\widehat{COD}=90^{\circ}$.

b. Ta có CM = AC, DM = BD vì CM và DM là chiều dài tiếp tuyến từ điểm C và D tới đường tròn. Từ đó, ta có CD = CM + DM = AC + BD.

c. Ta có AC = CM và BD = DM. Tích AC.BD = AC.BD = CM.DM. Xét tam giác vuông COD, ta có $CM \cdot MD = OM^{2} = R^{2}$ với R là bán kính của đường tròn. Từ đó, chúng ta suy ra AC.BD = R^2. Vì R là một giá trị cố định nên tích AC.BD không thay đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn.

Vậy nên, câu trả lời cho câu hỏi trên là:
a. $\widehat{COD} = 90^{\circ}$.
b. CD = AC + BD.
c. Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn.