Câu 31: Trang 116 - sách giáo khoa (SGK) toán lớp 9 tập 1Trên hình 82, tam giác ABC ngoại tiếp...

a.
**Cách 1:**
- Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm là O.
- Kẻ hai tiếp tuyến tại B, C lần lượt cắt nhau tại E và F.
- Gọi AD là đường cao của tam giác ABC.
- Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: BD = BE, CE = CF, AD = AF.
- Từ đó, ta có: AB + AC - BC = (AD + BD) + (AF + FC) - (BE + EC) = (AD + AF) + (DB - BE) + (FC - EC) = AD + AF = 2AD.
- Vậy, 2AD = AB + AC - BC (đpcm)

**Cách 2:**
- Gọi M là trung điểm của BC.
- Ta có AM là đường trung bình của tam giác ABC.
- Dựa vào định lí Ptolemy, ta có: AB.CM + AC.BM = AM.BC.
- Thay CM = BM = 0.5BC ta được: (AB + AC) = AM.BC = 2AD = 2AD.
- Vậy, 2AD = AB + AC - BC (đpcm)

b. Tương tự, ta tìm được các hệ thức:
- 2BE = BA + BC - AC
- 2CF = CA + CB - AB

Câu trả lời chi tiết và đầy đủ hơn:
a. Cách 1: Điểm M trung điểm của BC. Ta có AM là đường trung bình của tam giác ABC. Áp dụng định lí Ptolemy cho ABCM: AB.CM + AC.BM = AM.BC. Thay vào giá trị CM = BM = 0.5BC ta có: AB + AC = 2AD. Do đó, 2AD = AB + AC - BC.
Cách 2: Áp dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau tại E, F ta có BD = BE, CE = CF, AD = AF. Từ đó, suy ra AB + AC - BC = 2AD.
b. Tương tự, hệ thức tương tự như sau:
- 2BE = BA + BC - AC
- 2CF = CA + CB - AB.