Bài tập 2 trang 50 toán lớp 11 tập 1 Chân trời:Cho dãy số $(u_{n})$ với...

Để giải bài toán này, ta cần chú ý đến công thức tổng quát cho một dãy số $\frac{1}{n(n+1)}$, ta có thể thấy được rằng $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1}$ với $A, B$ là hai số cần tìm.

Ta có thể tìm $A, B$ bằng cách giải hệ phương trình sau:
$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1}$
$1 = A(n+1) + Bn$

Từ đây, ta có thể tìm được $A = 1$, $B = -1$.

Sau đó, ta có thể viết lại dãy số ban đầu dưới dạng tổng một dãy dài hơn để dễ dàng tính tổng:
$u_{n} = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) +...+ (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = 1 - \frac{1}{n+1}$

Do đó, ta có thể kết luận:
$u_{n} = \frac{n}{n+1}$

Vậy,
$u_{1} = \frac{1}{2}$,
$u_{2} = \frac{2}{3}$,
$u_{3} = \frac{3}{4}$,
$u_{n} = \frac{n}{n+1}$.

Đây là câu trả lời đầy đủ và chi tiết cho bài toán trên.