Thực hành 3 trang 48 toán lớp 11 tập 1 Chân trời:Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:a)...

a) Phương pháp giải:
Để xác định tính tăng, giảm của dãy số $(u_n)$, ta cần so sánh các số hạng liên tiếp của dãy để xem xét xem dãy có tăng hay giảm.
Ta có $u_{n} = \frac{2n-1}{n+1} = 2 - \frac{3}{n+1}$ và $u_{n+1} = 2 - \frac{3}{n+2}$.
Để chứng minh dãy $(u_n)$ tăng, ta cần chứng minh $u_{n} < u_{n+1}$.
Điều này tương đương với $2 - \frac{3}{n+1} < 2 - \frac{3}{n+2}$ hay $\frac{3}{n+2} < \frac{3}{n+1}$ hay $n+1 < n+2$, điều này luôn đúng với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$.
Vậy dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng.

b) Phương pháp giải:
Để xác định tính tăng, giảm của dãy số $(x_n)$, ta cũng cần so sánh các số hạng liên tiếp của dãy.
Ta có $x_{n} = \frac{n+2}{4^{n}}$.
Lập tỉ số hai số hạng liên tiếp của dãy: $\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{\frac{n+1+2}{4^{n+1}}}{\frac{n+2}{4^{n}}} = \frac{n+3}{4(n+2)}$.
Để chứng minh dãy $(x_n)$ giảm, ta cần chứng minh $\frac{n+3}{4(n+2)} < 1$, hay $n+3 < 4(n+2)$, hay $n+3 < 4n+8$, hay $5 < 3n$, điều này luôn đúng với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$.
Vậy dãy số $(x_n)$ là dãy số giảm.

c) Phương pháp giải:
Để xác định tính tăng, giảm của dãy số $(t_n)$, ta cũng cần so sánh các số hạng liên tiếp của dãy.
Ta có $t_{n} = (-1)^{n}.n^{2}$.
Nhìn vào các số hạng đầu tiên của dãy, ta thấy $t_{1}=-1; t_{2}= 4; t_{3}=-9$.
Từ đây, ta thấy $t_{1} < t_{2}, t_{2} > t_{3}$.
Vậy dãy số $(t_n)$ không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm.

Dẫn đến câu trả lời cho câu hỏi:
a) Dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng
b) Dãy số $(x_n)$ là dãy số giảm
c) Dãy số $(t_n)$ không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm.