Bài tập tự luậnBài tập 9 trang 62 toán lớp 11 tập 1 Chân trời:Xét tính tăng, giảm của dãy số...

Phương pháp giải:

Ta có $u_{n}=\frac{3^{n}-1}{2^{n}} = \left ( \frac{3}{2} \right )^{n}-\frac{1}{2^{n}}$

Để xác định tính tăng, giảm của dãy số $(u_{n})$, ta sẽ xem xét sự biến thiên của $u_{n+1}$ so với $u_{n}$.

Ta tính $u_{n+1}$:
$u_{n+1} = \left ( \frac{3}{2} \right )^{n+1}-\frac{1}{2^{n+1}}$

Suy ra, $u_{n+1}-u_{n} = \left ( \frac{3}{2} \right )^{n+1}-\frac{1}{2^{n+1}} - \left ( \frac{3}{2} \right )^{n}+\frac{1}{2^{n}}$
$= \left ( \frac{3}{2} \right )^{n}\left ( \frac{3}{2} - 1 \right ) - \frac{1}{2^{n}}\left ( \frac{1}{2} - 1 \right ) = \frac{3^{n}}{2^{n}} - \frac{1}{2^{n}} = \frac{2^{n}-1}{2^{n}} > 0$

Vậy $u_{n+1} > u_{n}$, suy ra dãy số $(u_{n})$ là dãy số tăng.

Vậy câu trả lời cho câu hỏi là dãy số $(u_{n})$ là dãy số tăng.