2. Đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$Khám phá 2 trang 43 toán lớp 11 tập 2 Chân trời:Dùng định...

Để tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$ tại điểm $x=x_{0}$ với $x_{0}>0$, ta sử dụng định nghĩa của đạo hàm như sau:

$y'(x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$

Đặt $f(x) = \sqrt{x}$, ta có:

$y'(x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}}{x-x_{0}}$

Chia tử và mẫu cho $\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}$ ta được:

$y'(x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}$

Khi đó, ta có:

$y'(x_{0}) = \frac{1}{\sqrt{x_{0}}+\sqrt{x_{0}}}= \frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}$

Vậy đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$ tại điểm $x=x_{0}$ với $x_{0}>0$ là $\frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}$.