Khám phá 4 trang 44 toán lớp 11 tập 2 Chân trời:Cho biết $\lim_{x \to 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1$...

a)

Phương pháp giải:

Để tính đạo hàm của hàm số $y=e^x$ theo định nghĩa, ta có:

$y'(x_0) = \lim_{x \to x_0}\frac{e^x - e^{x_{0}}}{x-x_{0}}$

Gọi $x = x_{0} + \Delta x$, ta có:

$y'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{x_{0}+\Delta x}-e^{x_{0}}}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{x_{0}+\Delta x}-e^{x_{0}}}{\Delta x} = e^{x_{0}}.\lim_{\Delta x \to 0}\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}$

Đặt $e^{\Delta x} = n + 1$, suy ra $\Delta x = \ln(n+1)$. Khi $\Delta x \to 0$ thì $n \to 0$.

Ta có:

$y'(x_{0}) = e^{x_{0}}.\lim_{\Delta x \to 0}\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x} = e^{x_{0}}.\lim_{n \to 0}\frac{n}{\ln(n+1)}$

$= e^{x_{0}}.\lim_{n \to 0}\frac{1}{\frac{1}{n}\ln(n+1)} = e^{x_{0}}.\lim_{n \to 0}\frac{1}{\ln(n+1)^{\frac{1}{n}}}$

Vì $\lim_{n \to 0}(n+1)^{\frac{1}{n}} = e$, suy ra $y'(x_{0})= e^{x_{0}}.\frac{1}{\ln e} = e^{x_{0}}$

b)

Phương pháp giải:

Để tính đạo hàm của hàm số $y=\ln x$, ta chuyển về dạng hàm số $x=e^y$.

Đạo hàm 2 vế, ta có:

$x' = y'.(e^y)'$

$\Rightarrow 1 = y'.e^y$

$\Rightarrow y' = \frac{1}{e^y}$

$\Rightarrow y' = \frac{1}{x}$

Vậy đáp án là:

a) $y'(x) = e^{x}$

b) $y'(x) = \frac{1}{x}$