Bài tập 2 trang 57 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 8 tập 2 CD: Cho hình thang ABCD (AB //CD) có AB =...

a) Để chứng minh $\frac{AM}{MD}=\frac{BN}{NC}$, ta cần chứng minh Tam giác ACD và Tam giác ABC đồng dạng.

Gọi E là giao điểm của MP và AC, ta có:
$\angle EAM = \angle ACD$ (do MP // CD)
$\angle EMA = \angle CAD$ (cùng chắn cung AC, AD)
$\Rightarrow$ Tam giác AEM đồng dạng với tam giác ACD (theo góc)
Tương tự, ta cũng có tam giác BNE đồng dạng với tam giác ABC.

Vậy, từ đồng dạng của hai cặp tam giác trên, ta suy ra $\frac{AM}{MD}=\frac{AP}{PC}=\frac{BN}{NC}$.

b) Theo điều kiện đã cho, ta có $\frac{AM}{AD}=\frac{1}{3}$ và $MD = 2MA$. Từ đó, ta tính được $MD = 2$, $AM = 1$, $AD = 3$.

Dựa vào tỉ lệ ta tính được $MP = \frac{CD}{3} = \frac{6}{3} = 2$.

Tương tự, với $\frac{BN}{NC}=\frac{1}{2}$, $AB = 4$, ta tính được $BN = 2$ và $NC = 1$.

Do đó, $PN = BN + NC = 2 + 1 = 3$.

Cuối cùng, $MN = MP + PN = 2 + 3 = 5$.

Vậy, độ dài các đoạn thẳng MP, PN, MN lần lượt là 2 cm, 3 cm, 5 cm.