Luyện tập 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Đường thẳng qua G song song với BC lần lượt cắt...

Kẻ đường thẳng AG cắt BC tại H. Ta có AH = rac{2}{3}AD. Do đó, $rac{AM}{AB} = rac{AH}{AC} = rac{rac{2}{3}AD}{AC} = rac{2}{3}$. Tương tự, ta cũng chứng minh được rac{AN}{AC} = rac{2}{3}.

Gọi E là giao điểm của đường thẳng AM với BC, ta có $rac{AM}{AB} = rac{AE}{AD}$ với AD là một đoạn trung bình trong tam giác ABC. Vì G là trọng tâm nên ta có AG = rac{2}{3}AD. Tương tự, ta cũng chứng minh được rac{AN}{AC} = rac{2}{3}.

Vì đường thẳng qua trọng tâm G song song với BC nên ta có MG = rac{1}{2}BC và NG = rac{1}{2}BC. Từ đó, ta có AM = AB - MB = AB - rac{1}{2}BC và AN = AC - NC = AC - rac{1}{2}BC. Từ đây, suy ra rac{AM}{AB} = rac{AC - rac{1}{2}BC}{AB} = rac{2}{3}. Tương tự, ta cũng chứng minh được rac{AN}{AC} = rac{2}{3}.