Luyện tập 1: Trong Hình 4, chứng tỏ rằng nếu MN // BC thì $\frac{MB}{AB}=\frac{NC}{AC}$.

Qua công thức độ dài đoạn thẳng ta có $AB = AI + IB$, $AC = AI + IC$, khi đó $rac{MB}{AB} = rac{MC - IC}{AI + IB} = rac{NC}{AI + IC} = rac{NC}{AC}$

Sử dụng công thức tỉ số điểm chia đoạn thẳng ta có $ rac{MB}{AB} = rac{IB}{IA}$ và $ rac{NC}{AC} = rac{IC}{IA}$. Khi đó, ta được $rac{MB}{AB} = rac{NC}{AC}$

Gọi H là hình chiếu từ M lên BC. Ta có $rac{MB}{AB}=rac{MH}{AH}$ và $rac{NC}{AC}=rac{CH}{AH}$. Từ đó, ta thấy $rac{MB}{AB}=rac{NC}{AC}$

Gọi I là giao điểm của MN và BC. Do MN // BC nên ta có các tam giác MBI và ACI đồng dạng (do các cặp góc đồng biên). Từ đó, ta có $rac{MB}{AB}=rac{CI}{AI}$. Tương tự, ta có tam giác INC và BIM đồng dạng nên $rac{IC}{AC}=rac{NB}{BM}$. Từ hai phương trình trên suy ra đpcm