Bài tập 5.26 trang 124 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Tìm giới hạn của các dãy số...

a) Để tìm giới hạn của dãy số $u_n = \frac{n^2}{3n^2 + 7n - 2}$ khi $n$ tiến đến vô cùng, ta chia tử số và mẫu số cho $n^2$ để đưa về dạng rút gọn. Ta có:
$$u_n = \frac{n^2}{3n^2 + 7n - 2} = \frac{1}{3 + \frac{7}{n} - \frac{2}{n^2}}$$
Khi $n$ tiến đến vô cùng, các số hạng $\frac{7}{n}$ và $\frac{2}{n^2}$ đều tiến đến 0, nên ta có:
$$\lim_{n \to \infty} u_n = \frac{1}{3}$$

b) Để tìm giới hạn của dãy số $v_n = \sum_{k=0}^n \frac{3^k + 5^k}{6^k}$ khi $n$ tiến đến vô cùng, ta cần thực hiện tính tổng các số hạng trong dãy và đưa về dạng đơn giản. Ta có:
$$v_n = (\frac{1}{2})^0 + \frac{1}{2}^1 + \frac{1}{2}^2 + \ldots + \frac{1}{2}^n + (\frac{5}{6})^0 + (\frac{5}{6})^1 + (\frac{5}{6})^2 + \ldots + (\frac{5}{6})^n$$
Tổng các số hạng trong hai dãy công thức trên có giới hạn khi $n$ tiến đến vô cùng, và ta có:
$$\lim_{n \to \infty} v_n = 8$$

c) Để tính giới hạn của dãy số $w_n = \frac{\sin n}{4n}$ khi $n$ tiến đến vô cùng, ta sử dụng tính chất về giới hạn của hàm số khi n tiến đến vô cùng. Bởi vì $\frac{1}{4n} < \frac{1}{n}$ và $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$, ta có:
$$\lim_{n \to \infty} w_n = 0$$

Vậy, giới hạn của các dãy số sau khi thực hiện tính toán là:
a) $\lim_{n \to \infty} u_n = \frac{1}{3}$
b) $\lim_{n \to \infty} v_n = 8$
c) $\lim_{n \to \infty} w_n = 0$