Bài tập 5.34 trang 124 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Tìm các giá trị của a để hàm số...

Để hàm số đã cho liên tục trên ℝ, ta cần tìm giá trị của a sao cho f(x) liên tục tại x = a.

Ta có:
$f(x)=\left\{\begin{matrix}x+1 & \text{nếu } x\leq a\\ x^{2} & \text{nếu } x>a\end{matrix}\right.$

1. Với x < a thì f(x) = x + 1 là hàm đa thức nên nó liên tục trên (-∞, a).
2. Với x > a thì f(x) = $x^{2}$ là hàm đa thức nên nó liên tục trên (a, +∞).
3. Tại x = a, ta có f(a) = a + 1.

Ta cần xác định giá trị của a sao cho các giới hạn sau bằng nhau:
$\underset{x\rightarrow a^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow a^{-}}{lim}(x+1)=a+1; \underset{x\rightarrow a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow a^{+}}{lim}x^{2}=a^{2}$

Để hàm số f(x) đã cho liên tục trên ℝ, ta có:
$\underset{x\rightarrow a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow a^{-}}{lim}f(x)=f(a)\Rightarrow a + 1 = a^{2} \Rightarrow a^{2} - a - 1 = 0$

Suy ra a = $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ hoặc a = $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Vậy a $\in$ {$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$, $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$} là các giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.