Bài tập 5.30 trang 124 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Chứng minh rằng giới hạn...

Phương pháp giải:

Ta cần chứng minh rằng giới hạn $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{|x|}{x}$ không tồn tại. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp trực tiếp.

Đặt $f(x)=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{|x|}{x}$

Ta lấy hai dãy của biến hội tụ về 0: $x_{n}^{(1)}=\frac{1}{n}$ và $x_{n}^{(2)}=\frac{-1}{n}$

Khi đó, ta có:

$limf(x_{n}^{(1)})=lim\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=1$

$limf(x_{n}^{(2)})=lim\frac{\frac{1}{n}}{-\frac{1}{n}}=-1$

Vì $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}(x_{n}^{(1)})\neq \underset{x\rightarrow \infty }{lim}(x_{n}^{(2)})$, nên không tồn tại $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{|x|}{x}$.

Vậy, giới hạn đó không tồn tại.