B - TỰ LUẬNBài tập 9.25 trang 97 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT :Tính đạo hàm...

Để tính đạo hàm của các hàm số trong bài tập trên, chúng ta sẽ sử dụng các công thức đạo hàm của các hàm số cơ bản, bao gồm đạo hàm của hàm hợp, hàm ngược, hàm số lũy thừa, hàm số logarith.

a) Tính đạo hàm của $y=(\frac{2x-1}{x+2})^{5}$:
Ta sử dụng công thức đạo hàm của hàm lũy thừa: $(u^n)'=nu^{n-1}u'$.
Với $u=\frac{2x-1}{x+2}$, ta tính đạo hàm của u: $u'=\frac{(x+2)(2)-(2x-1)\cdot1}{(x+2)^2}=\frac{4x+4-2x+1}{(x+2)^2}=\frac{2x+5}{(x+2)^2}$.
Khi đó, đạo hàm của y sẽ là: $y'=(5(\frac{2x-1}{x+2})^4)\cdot\frac{2x+5}{(x+2)^2}=\frac{10(2x-1)(x+2)^3}{(x+2)^4}=\frac{20x-50}{(x+2)^4}$.

b) Tính đạo hàm của $y=\frac{2x}{x^2+1}$:
Sử dụng công thức đạo hàm của hàm chia: $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.
Với $u=2x, v=x^2+1$, ta tính đạo hàm của u và v:
$u'=2, v'=2x$.
Khi đó, đạo hàm của y sẽ là: $y'=\frac{2\cdot(x^2+1)-2x\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$.

c) Tính đạo hàm của $y=e^x\sin^2x$:
Sử dụng công thức đạo hàm của tích hai hàm số: $(uv)'=u'v+uv'$.
Với $u=e^x, v=\sin^2x$, ta tính đạo hàm của u và v:
$u'=e^x, v'=2\sin{x}\cos{x}$.
Khi đó, đạo hàm của y sẽ là: $y'=e^x\cdot2\sin{x}\cos{x}+e^x\cdot\sin^2x\cdot2\cos{x}=2e^x\sin{x}\cos{x}+2e^x\sin{x}\cos^2x =2e^x\sin{x}\cos^2x$.

d) Tính đạo hàm của $y=\log(x+\sqrt{x})$:
Đầu tiên, chúng ta sẽ gọi $u=x+\sqrt{x}$, sau đó sử dụng công thức đạo hàm của hàm logarith: $\left(\log{u}\right)'=\frac{1}{u}u'$.
Tính đạo hàm của u: $u'=1+\frac{1}{2\sqrt{x}}=1+\frac{1}{2x}$.
Vậy đạo hàm của y sẽ là: $y'=\frac{1}{x+\sqrt{x}}(1+\frac{1}{2\sqrt{x}})=\frac{1}{\sqrt{x}(2\sqrt{x}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x}(3\sqrt{x}+2)}$.

Như vậy, đó là cách tính đạo hàm của các hàm số trong bài tập 9.25 trang 97 sách giáo khoa toán lớp 11.