Bài tập 9.31 trang 98 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT:Đồ thị của hàm số...

Để chứng minh rằng tiếp tuyến tại một điểm bất kỳ của đường hyperbol đó tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích không đổi, ta có thể giải bài toán như sau:

Phương trình của đường hyperbol là y = a/x, với a là một hằng số dương.

Để tìm phương trình của tiếp tuyến tại một điểm (x0, y0) của hyperbol, ta cần tính đạo hàm của hàm số y = a/x:
dy/dx = -a/x^2

Phương trình của tiếp tuyến tại điểm (x0, y0) là:
y - y0 = -a/x0^2 * (x - x0)

Đường tiếp tuyến sẽ cắt trục hoành tại điểm (x0, 0) và cắt trục tung tại điểm (0, y0 + a/x0).

Diện tích tam giác tạo bởi đường tiếp tuyến và trục hoành là:
S1 = 1/2 * x0 * y0

Diện tích tam giác tạo bởi đường tiếp tuyến và trục tung là:
S2 = 1/2 * a

Vậy tổng diện tích của tam giác tạo bởi đường tiếp tuyến và các trục tọa độ là:
S = S1 + S2 = 1/2 * (x0 * y0 + a) = a

Do đó, ta đã chứng minh được rằng diện tích của tam giác tạo bởi đường tiếp tuyến và các trục tọa độ là không đổi và bằng a, với a là hằng số dương của đường hyperbol.