Bài tập 3.38. Cho góc tù $\alpha$ có sin$\alpha = \frac{1}{3}$a) Tính cos$\alpha$, tan$\alpha$,...

Phương pháp giải:

a) Ta có sin$\alpha = \frac{1}{3}$, và ta biết rằng góc $\alpha$ nằm trong góc tù nên cos$\alpha < 0$. Áp dụng vào công thức $sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1$, ta tính được cos$\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Từ đó, ta tính được tan$\alpha = \frac{-\sqrt{2}}{4}$ và cot$\alpha = -2\sqrt{2}$.

b) Ta biết rằng cot$(180^{o} - \alpha) = -cot\alpha$, $cos(180^{o} - \alpha) = -cos\alpha$ và cot$(90^{o} - \alpha) = tan\alpha$. Áp dụng vào biểu thức A, ta có:

$A = sin\alpha . cot(180^{o} - \alpha) + cos(180^{o} - \alpha) .cot(90^{o} - \alpha)$
$A = \frac{1}{3} . (-(-2\sqrt{2})) + (-(-\frac{2\sqrt{2}}{3})).(\frac{-\sqrt{2}}{4})$
$A = \frac{2\sqrt{2} - 1}{3}$.

Tiếp tục áp dụng vào biểu thức B, ta có:

$B = \frac{3(sin\alpha + \sqrt{2}cos\alpha)-2}{sin\alpha -\sqrt{2}cos\alpha}$
$B = \frac{3(\frac{1}{3} + \sqrt{2}.(-\frac{2\sqrt{2}}{3}))-2}{\frac{1}{3} -\sqrt{2}.(-\frac{2\sqrt{2}}{3})}$
$B = -3$.

Vậy, câu trả lời chi tiết là:
- cos$\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$
- tan$\alpha = \frac{-\sqrt{2}}{4}$
- cot$\alpha = -2\sqrt{2}$
- A = $\frac{2\sqrt{2} - 1}{3}$
- B = -3.