Bài tập 10 trang 85 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 8 tập 2 CTST:a) Cho hình thang ABCD (AB //...

a) Phương pháp giải:

Để chứng minh rằng $BD^{2}=AB.CD$, ta sẽ xét tam giác BDC.

Xét tam giác BDC ta có:
$\widehat{BDC} + \widehat{BCD} + \widehat{DCB} = 180^\circ$ (tổng các góc trong tam giác)
Vì AB // CD, nên ta có $\widehat{BAD} + \widehat{ADC} = 180^\circ$ (hai góc trong cùng phía)
Kết hợp với $\widehat{ADB} = \widehat{DCB}$, suy ra $\widehat{BAD} = \widehat{DBC}$.

Xét tam giác ABD và BDC ta có:
$\widehat{BAD} = \widehat{DBC}$
$\widehat{ADB} = \widehat{DCB}$

Do đó, tam giác ABD và BDC đồng dạng, từ đó ta có $\frac{AB}{BD} = \frac{BD}{CD}$ hay $BD^{2} = AB.CD$.

b) Phương pháp giải:

Để tính độ dài x của HF, ta sẽ xét tam giác EFH.

Xét tam giác EFH ta có:
$\widehat{EFH} + \widehat{FHE} + \widehat{HEF} = 180^\circ$ (tổng các góc trong tam giác)
Và vì EF // GH, nên ta có $\widehat{EHG} + \widehat{FGH} = 180^\circ$ (hai góc đối nhau)
Kết hợp với $\widehat{HEF} = \widehat{HFG}$, suy ra $\widehat{EHG} = \widehat{FGH}$.

Xét tam giác EFH và FHG ta có:
$\widehat{EHG} = \widehat{FGH}$
$\widehat{HEF} = \widehat{HFG}$

Do đó, tam giác EFH và FHG đồng dạng, từ đó ta có $\frac{EF}{HF} = \frac{HF}{GH}$ hay $HF^{2} = EF.GH = 9 \times 16 = 144$.
Vậy $HF = 12$ (cm).

Câu trả lời:
a) $BD^{2} = AB.CD$
b) $HF = 12$ cm