Bài tập 16 trang 86 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 8 tập 2 CTST: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB...

a) Để chứng minh rằng ΔABH ᔕ ΔCBA, ta cần chứng minh hai tam giác có góc chung và hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau. Ta có:

Góc:
$\widehat{B}$ chung
Cạnh tương ứng:
$AB = AC$ (cạnh huyền của tam giác vuông)
$BH = BC$ (đường cao trong tam giác vuông)
Từ đó, ta có $\frac{AB}{BC}=\frac{BH}{AB}$, suy ra $AB^{2}=BH.BC$.

b) Ta có $\widehat{A}$ chung giữa tam giác AEF và ACB. Suy ra, $\widehat{EAH}=\widehat{ACB}$.
Theo bài toán, ta đã chứng minh được ΔABH ᔕ ΔCBA, nên $\widehat{EAH}=\widehat{ACB}$.
Do đó, ta có $\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}$, hay $AE. AB = AF . AC$.

c) Tứ giác AEHF có 4 góc vuông, nên là hình chữ nhật. Do đó, $\widehat{AEF}=\widehat{AEH}$.
Vì ΔABH ᔕ ΔCBA, nên $\widehat{EAH}=\widehat{ACB}$.
Kết hợp hai điều trên, ta có $\widehat{EAH}=\widehat{ACB}$ và $\widehat{AEF}=\widehat{AEH}$, do đó tam giác AEF ᔕ ΔACB.

d) Xét tam giác vuông HNI và HFC, ta có $\widehat{H}$ chung.
Do đó, ΔHNI ᔕ ΔHFC, nên $\frac{HN}{HF}=\frac{HI}{HC}$.
Từ đó suy ra $\frac{HN}{HI}=\frac{HF}{HC}$.
Khi xét tam giác HNF và HIC, ta cũng có $\widehat{H}$ chung và $\frac{HN}{HI}=\frac{HF}{HC}$, suy ra ΔHNF ᔕ ΔHIC.