Bài tập tự luậnBài tập 11 trang 35 toán lớp 11 tập 2 Chân trời:Biết $4^{\alpha} + 4^{-\alpha}...

Để giải bài toán trên, ta có thể sử dụng phương pháp biến đổi cơ bản của số học:
a) Ta biết $4^{\alpha} + 4^{-\alpha} = 5$
Đặt $x = 2^{\alpha} + 2^{-\alpha}$
Ta có: $x^2 = (2^{\alpha} + 2^{-\alpha})^2 = 2^{\alpha} + 2^{-\alpha} + 2.2^{\alpha}.2^{-\alpha} = 2^{\alpha} + 2^{-\alpha} + 2 = (2^{\alpha} + 2^{-\alpha}) + 2 = x + 2$
Suy ra: $x^2 - x - 2 = 0$
Giải phương trình ta được: $x = -1$ hoặc $x = 2$
Vì $2^{\alpha} + 2^{-\alpha} > 0$, nên $x = 2$
Vậy $2^{\alpha} + 2^{-\alpha} = 2$

b) Ta biết $4^{\alpha} + 4^{-\alpha} = 5$
Đặt $y = 4^{2\alpha} + 4^{-2\alpha}$
Ta có: $y = (4^{\alpha})^2 + 2.4^{\alpha}.4^{-\alpha} + (4^{-\alpha})^2 - 2 = (4^{\alpha} + 4^{-\alpha})^2 - 2 = 5^2 - 2 = 23$
Vậy $4^{2\alpha} + 4^{-2\alpha} = 23$

Vậy câu trả lời cho câu hỏi trên là:
a) $2^{\alpha} + 2^{-\alpha} = 2$
b) $4^{2\alpha} + 4^{-2\alpha} = 23$