Bài tập 28 trang 100 sách bài tập (SBT) toán lớp 8 tập 1 cánh diều:Cho tam giác ABC nhọn có các...

Để chứng minh Tứ giác MNHK là hình thoi, ta cũng có thể sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng và các góc đồng quy trong tam giác. Kết hợp với việc chứng minh BN ⊥ CM, ta có thể dễ dàng chứng minh tính chất này của tứ giác MNHK.

Một cách khác để chứng minh BN ⊥ CM là sử dụng tính chất của góc phân giác trong tam giác. Ta thấy tia BN chính là tia phân giác của góc MBN trong tam giác ABN, và tia CM chính là tia phân giác của góc MCN trong tam giác ACM. Từ đó, ta có thể kết luận BN ⊥ CM.

Khi chứng minh BN ⊥ CM, ta cũng có thể áp dụng các định lí về góc đồng quy, góc nội tiếp và góc ngoại tiếp trong tam giác để chứng minh tính chất đó. Dựa vào các quy tắc này, ta có thể chứng minh BN ⊥ CM một cách dễ dàng.

Dựa vào định lí góc ngoại tiếp trong hình tam giác, ta có góc ABD = góc ACE và góc ADM = góc CEN. Do đó, ta có góc ADB = góc A + góc BAD = góc A + góc CAE và góc CAN = góc A + góc ACE = góc A + góc BAD. Khi đó, ta suy ra góc CAN = góc BAD, tức CN song song với BD. Từ đó, suy ra BN ⊥ CM.

Để chứng minh Tứ giác MNHK là hình thoi, ta cần chứng minh hai đường chéo của tứ giác đó cắt nhau vuông góc và có độ dài bằng nhau. Ta biết rằng BN ⊥ CM (đã chứng minh ở trên), và vì NH là chiều cao của tam giác ABC nên tam giác ABN và ACM đồng dạng. Từ đó suy ra MH là đường cao của tam giác ABC nên tam giác ABC và NHC cũng đồng dạng. Khi đó, ta có MN // HK và MN = HK, do đó tứ giác MNHK là hình thoi.