Bài tập 9 trang 90 sách bài tập (SBT) toán lớp 8 tập 1 cánh diều:Chứng minh rằng: Trong một tứ giác...

Cho tứ giác ABCD, với AC là đường chéo chia tứ giác thành hai tam giác ABC và ACD. Ta áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC và ACD, ta có: AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2.AB.BC.cos∠BAC và AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2.AD.CD.cos∠DAC. Tổng hai công thức trên, ta được: 2.AC^2 = AB^2 + BC^2 + AD^2 + CD^2. Khi đó, AC^2 > AB^2 + BC^2 và AC^2 > AD^2 + CD^2. Từ đó suy ra AC > AB + BC và AC > AD + CD. Tương tự áp dụng cho BD, ta có BD > AB + AD và BD > BC + CD. Kết hợp hai bất đẳng thức ta có tổng độ dài hai đường chéo lớn hơn tổng độ dài hai cạnh đối.

Xét tứ giác ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Khi đó, ta có định lý Ptolemy: AC.BD = AB.CD + BC.AD. Đặt x = AB, y = BC, z = CD, t = AD. Ta có: AC.BD = (x+z)(y+t) = xy + xz + yt + zt > xz + yt = CD + AD + BC + AB. Do đó, tổng độ dài hai đường chéo lớn hơn tổng độ dài hai cạnh đối.

Gọi tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD. Ta có: AC > AB + BC và BD > AD + DC (theo bất đẳng thức tam giác). Từ đó suy ra AC + BD > AB + BC + AD + DC, tức là tổng độ dài hai đường chéo lớn hơn tổng độ dài hai cạnh đối.