2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm sốKhám phá 2 trang 72 toán lớp 11 tập 1 Chân...

Để giải câu hỏi trên, ta có thể thực hiện theo các bước sau:

a) Ta có $f(x) = 2x$ và $g(x) = \frac{x}{x+1}$. Giả sử $(x_n)$ là dãy số bất kì thoả mãn $x_n \neq -1$ với mọi n và $x_n \rightarrow 1$ khi $n \rightarrow +\infty$. Ta cần tính giới hạn của $f(x_n) + g(x_n)$ khi $n \rightarrow +\infty$.

Thay $f(x) = 2x$ và $g(x) = \frac{x}{x+1}$ vào công thức ta có:
$lim\left [ f(x_{n})+g(x_{n}) \right ] = lim\left [ 2x_{n}+\frac{x_{n}}{x_{n}+1} \right ] = lim\left ( 2+ \frac{1}{1+1} \right ) = \frac{5}{2}$.

b) Tiếp đến, ta cần tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow 1}\left [ f(x)+g(x) \right ]$, và so sánh với $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)+\lim_{x\rightarrow 1}g(x)$.

Thay $f(x) = 2x$ và $g(x) = \frac{x}{x+1}$ vào công thức ta có:
$\lim_{x\rightarrow 1}\left [ f(x)+g(x) \right ] = \lim_{x\rightarrow 1}\left ( 2x+\frac{x}{x+1} \right ) = \frac{5}{2}$.

Và $\lim_{x\rightarrow 1}f(x) + \lim_{x\rightarrow 1}g(x) = \lim_{x\rightarrow 1}2x + \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x}{x+1} = 2 + \frac{1}{1+1} = \frac{5}{2}$.

Ta thấy rằng $\lim_{x\rightarrow 1}\left [ f(x)+g(x) \right ] = \lim_{x\rightarrow 1}f(x) + \lim_{x\rightarrow 1}g(x)$, vậy ta đã giải câu hỏi đề bài.