Bài tập 16 trang 65 sách bài tập (SBT) toán lớp 8 tập 2 cánh diều:Cho tam giác ABC cân tại A, có M...

Kẻ tia MH vuông góc với BC tại H. Ta cần chứng minh MH = HM. Ta có BH = HC (do M là trung điểm của BC) và MH vuông góc với BC nên MH = HM. Tương tự, ta có MH vuông góc với AB và AC. Từ đó, ta chứng minh được AM là đường trung trực của EF.

Gọi G là trung điểm của EF. Ta có MG = GE, MF = FA, EM = ME do trên đã chứng minh EF là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, tam giác MFG và MFA đều cân tại M. Suy ra MG = GF = GA và MG vuông góc với AF. Tương tự, MG vuông góc với AE. Vậy ta chứng minh được AM là đường trung trực của EF.

Gọi I là giao điểm của EF và AM. Ta cần chứng minh AI vuông góc với EF. Ta có EI // AC, FI // AB, AM // BC theo đề bài. Do đó, ta có EF // BC. Nhưng EF và AM cắt nhau tại I nên I là trung điểm của EF. Vậy AM là đường trung trực của EF.

Ta có BM = MC (do M là trung điểm của BC), do đó tam giác BME và CME đều cân tại M. Như vậy EM = ME. Tương tự, ta có MF = FA. Khi đó, EF là đường trung bình của tam giác ABC.