Bài tập 42 trang 104 sách bài tập (SBT) toán lớp 8 tập 1 cánh diều:Cho hình thang cân ABCD có AB //...

a)
Phương pháp giải 1:
- Do ABCD là hình thang cân nên $\widehat{C}=\widehat{ADC}$.
- Lấy E trên CD sao cho DH = EH, ta có ∆ADH = ∆AEH (c.g.c) => $\widehat{ADH}=\widehat{AEH}$ hay $\widehat{ADC}=\widehat{AED$}.
- Do đó $\widehat{C}=\widehat{AED}$. Mà $\widehat{C},\widehat{AED}$ nằm ở vị trí đồng vị => AE // BC.
- Tứ giác ABCE có AB // CE, AE // BC nên ABCE là hình bình hành.

b)
Phương pháp giải 2:
- Ta có $\widehat{FDH}=\widehat{AEH}$ (hai góc so le trong).
- ∆FDH = ∆AEH (g.c.g) => AH = HF.
- Tứ giác ADFE có hai đường chéo AF và DE cắt nhau tại trung điểm H của mỗi đường nên ADFE là hình bình hành.
- Tam giác ADE có $\widehat{AED}=\widehat{ADE}$ = 45° nên tam giác ADE vuông cân tại A.
- Hình bình hành ADFE có $\widehat{DAE}$ = 90° nên ADFE là hình chữ nhật.

c)
Phương pháp giải 3:
- Ta chỉ cần chứng minh ADFE là hình bình hành.
- Do ABCE và ADFE đều là hình bình hành nên AE = BC và AE = DF => BC = DF.
- Góc $\widehat{FDH}=\widehat{BCD}$ và hai góc nằm ở vị trí so le trong nên BC // DF.
- Tứ giác BCFD có BC = DF và BC // DF nên BCFD là hình bình hành.
- E là trung điểm của BF => E là trung điểm của CD => EC = $\frac{1}{2}$CD.
- AB = EC (vì ABCE là hình bình hành) => AB = $\frac{1}{2}$CD.
- Nên điều kiện để E là trung điểm của BF là AB = $\frac{1}{2}$CD.

Câu trả lời:
a) Tứ giác ABCE là hình bình hành.
b) Tứ giác ADFE là hình chữ nhật.
c) Điều kiện của hình thang cân ABCD để E là trung điểm của BF là AB = $\frac{1}{2}$CD.