Bài tập 7.17 trang 53 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT:Cho hình lập phương...

a) Để tính độ dài đường chéo của hình lập phương, ta áp dụng công thức cạnh đường chéo của hình lập phương: $d = \sqrt{a^{2} + a^{2} + a^{2}} = \sqrt{3}a$.

b) Để chứng minh $(ACC'A') \perp (BDD'B')$, ta cần chứng minh rằng $AC^{2} + CA'^{2} = AA'^{2}$. Ta có tam giác vuông $ACA'$ nên $AC = CA' = \frac{a}{\sqrt{2}}$. Tương tự, ta có $BD^{2} = DB'^{2} = BC^{2} = CB'^{2} = AD^{2} = DA'^{2} = a^{2}$.

Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BD$, $A'C'$. Khi đó, $MN$ song song với $AC$ và $A'C'$, và $MN = \frac{1}{2}a^{2} + \frac{1}{2}a^{2} = \frac{3}{2}a^{2}$.

Do $AMD'$ và $D'BN$ là hai tam giác vuông cân tại $M$ và $N$, ta có $(ACC'A') \perp (BDD'B')$.

c) Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$. Ta cần chứng minh $\widehat{COC'}$ là một góc phẳng của góc nhị diện $[C, BD, C']$. Để tính (gần đúng) số đo của các góc nhị diện $[C, BD, C]$ và $[A, BD, C']$, cần thêm thông tin khác để hoàn thiện phần giải bài toán.