Bài tập 69 trang 85 sách bài tập (SBT) toán lớp 8 tập 2 cánh diều:Cho tam giác ABC cân tại A, AB =...

Tính diện tích tam giác ABC theo công thức S = 1/2 * AB * BC = 1/2 * 10 cm * 12 cm = 60 cm^2. Diện tích tam giác ABC cũng bằng S = 1/2 * AI * BC * sin(AIC). Từ đó ta suy ra AI = 2S / (BC * sin(AIC)) = 2*60 / (12 * sin 45) = 6√3 cm.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có IG cắt AB tại N. Ta có IG là đường phân giác của góc BAC nên ta có BN = NA. Do đó ta suy ra BG = AG = 5 cm. Từ đó ta tính được IN = 2 cm. Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác AIN, ta có AI = √(AN^2 + IN^2) = √(5^2 + 2^2) = √29 cm.

Ta có góc AIC = góc AIB (vì AI là đường phân giác của góc BAC và góc I là góc nhọn). Vì tam giác AIB cân tại I nên góc AIB = góc BAI = 1/2 góc ABC = 45 độ. Do đó, góc AIC = 45 độ. Ta có góc AIM = 90 độ và góc AIC = 45 độ, suy ra góc CMI = 45 độ. Từ đây ta suy ra tam giác AIM đều và IM = AM = 6 cm. Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác AIM, ta có AI = 6√3 cm.

Vì tam giác ABC cân tại A nên ta có IB = IC. Kẻ AM vuông góc với BC tại M. Ta có AM là đường cao của tam giác ABC nên AM = BC/2 = 6 cm. Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AIM, ta có AI = √(AM^2 + IM^2) = √(6^2 + (AI/2)^2) = √(36 + AI^2/4).