Bài tập 12 trang 106 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT:Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'...

Để tìm giá trị lớn nhất của thể tích của hình hộp ABCD.A'B'C'D', ta cần tìm giá trị lớn nhất của đáy hình hộp.

Gọi M là trung điểm của AC, từ đó ta có AM = MC = a.
Gọi H là trung điểm của A'C', từ đó ta có AH = HC' = a.

Ta có các hệ thức sau:
- Diện tích của hình chữ nhật ABCD: S = AB \times BC = AC \times BC = 2a \times 2a = 4a^2.
- Diện tích của hình tam giác AMC: S_{AMC} = \frac{1}{2} \times AM \times AC = \frac{1}{2} \times a \times 2a = a^2.
- Diện tích của hình tam giác AHC': S_{AHC'} = \frac{1}{2} \times AH \times A'C' = \frac{1}{2} \times a \times 2a = a^2.

Từ đó ta có thể dễ dàng tính được diện tích của tam giác MCB và tam giác HC'B'.
Vậy diện tích của đáy hình hộp ABCD.A'B'C'D' là S_{day} = 4a^2 + 2a^2 + 2a^2 = 8a^2.

Giá trị lớn nhất của thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D' sẽ đạt được khi các cạnh của hình hộp là bằng nhau, tức là hình hộp là hình lập phương.
Vậy thể tích lớn nhất của hình hộp ABCD.A'B'C'D' là V = (8a^2) \times a = 8a^3.

Vậy câu trả lời đúng là: C. $4a^{3}$