Bài tập 13 trang 106 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT:Cho tứ diện đều ABCD có cạnh...

Để giải bài toán này, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm diện tích của tam giác ABC.
Gọi H là trung điểm của cạnh BC, ta có HC = $\frac{a}{2}$, ta có $BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Diện tích tam giác ABC:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BH = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.
Bước 2: Tính thể tích khối chóp B.CMND.
Gọi O là điểm trọng tâm của tam giác ABC, ta có O là trung điểm của BM, ta có $OM = \frac{1}{2}MC = \frac{1}{2} \times \frac{a}{2} = \frac{a}{4}$.
Khi đó thể tích khối chóp B.CMND là:
$V = \frac{1}{3}S_{ABC} \times OM = \frac{1}{3} \times \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \times \frac{a}{4} = \frac{a^3 \sqrt{3}}{48}$.
Nhưng ta cần tìm thể tích theo đúng câu hỏi, ta cần chuyển $\sqrt{3}$ thành $\sqrt{2}$.
Từ kết quả trên, ta có $V = \frac{a^3 \sqrt{3}}{48} = \frac{a^3 \sqrt{3} \sqrt{2}}{48\sqrt{2}} = \frac{a^3 \sqrt{6}}{96} = \frac{a^3 \sqrt{2}}{24}$.
Vậy câu trả lời đúng là: C. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{24}$.