Bài tập 34 trang 109 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT:Cho hình chóp S.ABCD có đáy...

a) Phương pháp giải:
Ta có $\widehat{SAB} = \widehat{SAD} = 45^{\circ}$. Do đó, tam giác $SAB$ cân tại $S$ nên $SB = SA = a$. Tương tự, ta có $SD = SC = a$ và $\widehat{SCD} = \widehat{SAD} = 45^{\circ}$. Vậy tam giác $SCD$ cũng là tam giác cân tại $S$. Do đó, $SC$ là trung tuyến của tam giác $BCD$, suy ra $BD \perp SC$.

b) Phương pháp giải:
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SC$, ta sẽ tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SCD)$. Gọi $M$ là giao điểm của $BD$ và $SC$. Ta cần tính độ dài $BM$.
Vì $BD \perp (ACD)$, nên ta có $BM \perp (ACD)$. Gọi $N$ là giao điểm của $BM$ và $AC$. Khi đó, ta có $BN \perp AC$.
Với $\widehat{ABD} = 30^{\circ}$ và $ABCD$ là hình thoi, ta có $AB = BC = \frac{a}{\sqrt{2}}$. Do đó, trong tam giác vuông $ABN$, ta có $AN = \frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{6}}$.
Từ đó, ta tính được độ dài $BN = AN \sin(\widehat{ABN}) = \frac{a}{\sqrt{6}} \sin(30^{\circ}) = \frac{a}{2\sqrt{6}}$.

Câu trả lời:
a) $BD \perp SC$.
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SC$ là $BM = \frac{a}{2\sqrt{6}}$.