Bài tập 31 trang 109 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT:Cho tứ diện OABC có $OA = OB...

a) Để chứng minh $(OBC) \perp (ABC)$, ta đi từng bước như sau:
- Gọi M là trung điểm của BC. Ta có OM là đường phân giác của góc BOC và đồng thời là đường trung bình của tam giác ABC, nên OM vuông góc BC.
- Ta cũng có góc BOC bằng 90 độ, suy ra OM là đường cao của tam giác BOC.
- Do đó, ta có OM vuông góc (OBC), từ đó suy ra $(OBC) \perp BC$.
- Tương tự, chứng minh được rằng $AM \perp BC$, từ đó suy ra $(ABC) \perp BC$.
- Kết hợp hai điều trên, ta có $(OBC) \perp (ABC)$.

b) Để tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) và thể tích khối tứ diện OABC, ta thực hiện như sau:
- Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC): Gọi H là trung điểm của BC, ta có OH vuông góc BC và OH = a/2. Gọi M là trung điểm của OA, ta có OM vuông góc (ABC) và OM = a√3/6. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) là OM = a√3/6.
- Tính thể tích khối tứ diện OABC: Thể tích khối tứ diện OABC bằng 1/3 diện tích tam giác ABC nhân đôi chiều cao OH. Ta có diện tích tam giác ABC là √3a^2/4 và chiều cao OH = a/2, suy ra thể tích khối tứ diện OABC là √3a^2/24.