Bài tập 29 trang 108 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số...

Để tính đạo hàm của các hàm số đã cho, ta sử dụng các công thức đạo hàm cơ bản và công thức đạo hàm của các hàm số đặc biệt như căn bậc hai, hàm hợp, hàm ngược, hàm mũ, hàm lôgarit, hàm số lượng giác.

a) $y=3x^{2}-2 \sqrt{x}$
$y' = (3x^2)' - (2\sqrt{x})'$
$y' = 6x - \frac{1}{\sqrt{x}}$

b) $y=\sqrt{1+2x-x^{2}}$

Đặt $u = 1 + 2x - x^2$

Ta có $y = \sqrt{u}$

$y' = \frac{1}{2\sqrt{u}}(u)' = \frac{1}{2\sqrt{1+2x-x^2}}(1+2x-x^2)'$

$(1+2x-x^2)' = 2 - 2x$

$y' = \frac{1}{2\sqrt{1+2x-x^2}}(2 - 2x)$

$y' = \frac{2 - 2x}{2\sqrt{1+2x-x^2}}$

c) $y=\tan\frac{x}{2}-\cot\frac{x}{2}$

$y' = \left(\tan\frac{x}{2}\right)' - \left(\cot\frac{x}{2}\right)'

$y' = \frac{1}{\cos^2\frac{x}{2}}\cdot\frac{1}{2} - \frac{-1}{\sin^2\frac{x}{2}}\cdot\frac{1}{2}$

$y' = \frac{1}{2\cos^2\frac{x}{2}} + \frac{1}{2\sin^2\frac{x}{2}}$

d) $y = e^{ex} + \ln(x^2)$

$y' = (e^{ex} + \ln(x^2))'$

$y' = (e^{ex})' + (\ln(x^2))'$

$(e^{ex})' = e^{ex}\cdot(ex)' = e^{ex}\cdot(e)'x + e^{ex}\cdot x = e^{ex}\cdot(ex + 1)$

$(\ln(x^2))' = \frac{1}{x^2}\cdot(2x) = \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}$

$y' = e^{ex}\cdot(ex + 1) + \frac{2}{x}$

Vậy câu trả lời cho bài toán là:
a) $y' = 6x - \frac{1}{\sqrt{x}}$
b) $y' = \frac{2 - 2x}{2\sqrt{1+2x-x^2}}$
c) $y' = \frac{1}{2\cos^2\frac{x}{2}} + \frac{1}{2\sin^2\frac{x}{2}}$
d) $y' = e^{ex}\cdot(ex + 1) + \frac{2}{x}$