Bài tập 33 trang 109 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT:Cho hình lăng trụ tam giác...

a) Để chứng minh rằng MN // HK, ta sử dụng định lí Thales. Ta có: $\frac{AH}{HB} = \frac{AA'}{BB'} = \frac{\sqrt{2}}{1}$ và $\frac{AK}{KC} = \frac{AA'}{CC'} = \frac{\sqrt{2}}{1}$. Từ đó, suy ra $\frac{AH}{HB} = \frac{AK}{KC} $ và do đó MN // HK.

b) Để tính thể tích khối chóp A'.AHK, ta sử dụng công thức $V_{A'.AHK} = \frac{1}{3} S_{A'HK} \times AH$. Diện tích tam giác $AHK$ có thể tính bằng công thức: $S_{AHK} = \frac{1}{2} \times AH \times HK$.
Ta cần tính độ dài cạnh $AH$. Vì $AA' = a \sqrt{2}$ và $A'M \parallel A'H$, ta có: $\frac{AH}{AA'} = \frac{HM}{A'M}$. Với $HM = \frac{BB'}{2} = \frac{a}{2}$ và $A'M = \frac{BB'}{2} = \frac{a}{2}$.
Thay các giá trị vào, ta có: $\frac{AH}{a \sqrt{2}} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{2}} = 1$. Suy ra, $AH = a \sqrt{2}$.
Thay các giá trị vào công thức, ta có: $S_{AHK} = \frac{1}{2} \times a \sqrt{2} \times \frac{a}{2} = \frac{a^2 \sqrt{2}}{4}$.
Chiều cao của chóp $A'.AHK$ là độ dài đường thẳng $A'A$, nên $h_{A'.AHK} = AA' = a \sqrt{2}$.
Thay các giá trị vào công thức, ta có: $V_{A'.AHK} = \frac{1}{3} \times \frac{a^2 \sqrt{2}}{4} \times a \sqrt{2} = \frac{a^3}{6}$.