Bài tập 4 trang 105 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Hãy cho biết dãy số $(U_{n})$ nào...

Để xác định dãy số nào là dãy số tăng, chúng ta cần kiểm tra điều kiện $U_{n} < U_{n+1}$.

1. Xét dãy số $U_{n} = \frac{1}{n^{2}+1}$:
$U_{n} = \frac{1}{n^{2}+1}$ và $U_{n+1} = \frac{1}{(n+1)^{2}+1}$.
Ta cần chứng minh rằng $U_n < U_{n+1}$ khi $n \in \mathbb{N}$.
Ta có:
$U_{n+1} - U_{n} = \frac{1}{(n+1)^{2}+1} - \frac{1}{n^{2}+1}$
$= \frac{1}{n^{2}+2n+1+1} - \frac{n^{2}+1}{n^{2} + 1}$
$= \frac{1}{(n+1)^{2}+1} - \frac{n^{2}+1}{n^{2}+1}$
$= \frac{1}{(n+1)^{2}+1} - \frac{n^{2}+1}{n^{2}+1}$
$= \frac{(n+1)^{2} - n^{2} - 1}{(n+1)^{2}(n^{2}+1)}$
$= \frac{n^{2} + 2n + 1 - n^{2} - 1}{(n+1)^{2}(n^{2}+1)}$
$= \frac{2n}{(n+1)^{2}(n^{2}+1)}$
Với $\frac{2n}{(n+1)^{2}(n^{2}+1)} > 0$ trong khi n tăng lên, ta thấy $U_n$ không phải dãy số tăng.

2. Xét dãy số $U_{n} = 2^{-n}$:
Số hạng thứ n trong dãy này sẽ là $\frac{1}{2^{n}}$ và số hạng thứ n+1 sẽ là $\frac{1}{2^{n+1}}$.
Ta cần chứng minh rằng $\frac{1}{2^{n}} < \frac{1}{2^{n+1}}$ khi n tăng lên.
Vì $\frac{1}{2^{n}} < \frac{1}{2^{n+1}}$, dãy số $U_n = 2^{-n}$ là dãy số tăng.

3. Xét dãy số $U_{n} = \log_{\frac{1}{2}}n$:
Để chứng minh dãy số này có phải là dãy số tăng hay không, chúng ta cần xem xét giá trị của n khi n tăng lên.
Tuy nhiên, số hạng $U_n$ không thể tính được cho mọi giá trị n không nằm trong miền xác định của logarit.
Vì vậy, không thể kiểm tra xem dãy số này là dãy số tăng hay không.

4. Xét dãy số $U_{n} = \frac{n}{n+1}$:
Ta cần chứng minh rằng $\frac{n}{n+1} < \frac{n+1}{n+2}$ khi n tăng lên.
$\frac{n}{n+1} < \frac{n+1}{n+2}$
$\Leftrightarrow n(n+2) < (n+1)^{2}$
$\Leftrightarrow n^{2}+2n < n^{2}+2n+1$
$\Leftrightarrow 0 < 1$, luôn đúng với mọi giá trị của n.

Vậy, dãy số $U_n = \frac{n}{n+1}$ là dãy số tăng.

Do đó, câu trả lời đúng cho câu hỏi là: D. $\frac{n}{n+1}$.