Bài tập 9 trang 106 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Nếu $f(x) = \sin^{2} x + x e^{2x}$...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính đạo hàm cấp hai của hàm số $f(x)$ và sau đó tính giá trị của $f''(0)$.

Phương pháp giải 1:
Ta có $f(x) = \sin^{2} x + x e^{2x}$. Để tính đạo hàm cấp hai, ta cần tính đạo hàm cấp nhất của hàm số trước:
$f'(x) = 2\sin x \cos x + e^{2x} + 2xe^{2x}$
$f''(x) = (2\sin x \cos x)' + (e^{2x} + 2xe^{2x})'$
$f''(x) = (2\cos^2 x - 2\sin^2 x) + 2e^{2x} + (4xe^{2x} + 2e^{2x})$
$f''(x) = 2\cos(2x) + 2e^{2x} + 6xe^{2x}$

Để tính $f''(0)$, ta thay $x = 0$ vào biểu thức $f''(x)$:
$f''(0) = 2\cos(0) + 2e^{0} + 6(0)e^{0} = 2 + 2 = 4$

Vậy, câu trả lời đúng cho câu hỏi đó là A. 4.

Phương pháp giải 2:
Ta có $f(x) = \sin^{2} x + x e^{2x}$.
Đạo hàm cấp hai của $f(x)$ là $f''(x) = \frac{d^2}{dx^2}(\sin^{2} x + x e^{2x})$.
Theo tính chất của đạo hàm, ta có:
$f''(x) = \frac{d^2}{dx^2}(\sin^{2} x) + \frac{d^2}{dx^2}(x e^{2x})$.
$f''(x) = \frac{d}{dx}(2 \sin x \cos x) + \frac{d}{dx}(x \cdot 2e^{2x} + e^{2x})$.
$f''(x) = 2\cos(2x) + 2e^{2x} + 2xe^{2x}$.

Thay $x = 0$ vào $f''(x)$ ta được:
$f''(0) = 2\cos(0) + 2e^{0} + 2(0)e^{0} = 2 + 2 = 4$.

Vậy, câu trả lời cho câu hỏi đúng là A. 4.